Akşam eve geldiğinizde ailenizin ev sevdiğiniz tatlılardan birini almış olduğunu gördünüz ancak tatlıdan yalnızca birkaç dilim kalmış ve görünüşe göre size yalnızca 1 dilim düşüyor.
Tam olarak bununla yetinmeniz gerektiğini kabullenmek üzereyken kardeşiniz kendi dilimini çoktan yediğini belirterek diğer 1 dilimin de size ait olduğunu söylüyor.
Çok şanslınız çünkü artık elinizde 1 yerine 2 dilim tatlı var.
Ya da en azından sezgilerimiz bize bunun böyle olduğunu söylüyor çünkü hepimiz “1 + 1” işleminin “2” sonucunu verdiğinden kesin olarak eminiz.
Benzer şekilde 3 + 5 = 8 ya da 750 + 500 = 1.250 olmalıdır.
Sahi, bundan o kadar da emin misiniz?
1 + 1 işleminin sonucu gerçekten de 2’ye mi eşittir yoksa tüm bildikleriniz daha önce size anlatılan ancak üzerine hiç düşünme gereksinimi duymadığınız kalıp ifadelerden mi ibaretti?
Başka bir şekilde soralım: Eğer sizden 1 + 1 işleminin sonucunun 2 olduğunu kanıtlamanızı isteseydim bunu tam olarak nasıl yapardınız?
1 + 1 = 2 Kanıtı Nedir?
Çoğumuz henüz beş ya da altı yaşında iken alfabe ile birlikte eğitim müfredatının en temel konularından birisi olan toplama ve çıkarma işlemlerini öğrendik.
Bu o kadar temel bir konu ki, hayatımızın ilk çağlarında bile 1 + 1 gibi oldukça basit bir işleme ait sonucun 2 olduğundan son derece emindik.
Ancak tam da bu satırları okurken nasıl olup da bundan bu kadar emin olduğunuzu merak etmeye başlamış olabilirsiniz.
Sizi bilmiyorum ancak geçtiğimiz dönemlerde Alfred North Whitehead, Bertrand Russell ve Giuseppe Peano gibi bazı ünlü matematikçiler 1 + 1 işleminin gerçekten de 2 sonucunu verip vermediğinden emin olmak için kimi zaman yüzlerce sayfadan oluşan denklemler ve somut aksiyomlar geliştirdi.
Bu rehberimizde Giuseppe Peano tarafından geliştirilen Peano Aksiyomları üzerinde duracağız ancak dilerseniz daha sonra Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell tarafından kaleme alınan Principia Mathematica ile de ilgilenmek isteyebilirsiniz.
Aksiyom Nedir?
Aksiyom, kanıt olmaksızın doğru olduğu kabul edilen ve üzerine daha ileri akıl yürütmelerin ve argümanların inşa edildiği bir ilk kural veya ilke anlamına gelir.
Bunları matematiğin temel taşları olarak da tasavvur edebilirsiniz. Basit bir toplama ve çarpma aksiyomunu ele alalım:
- x ve y reel sayıdır.
- o zaman x + y ya da x * y de bir reel sayıdır.
Giuseppe Peano tarafından geliştirilmiş olan Peano Aksiyomları, matematiksel mantıktaki doğal sayılar için bir dizi aksiyomu tanımlar.
Eşitlik (“=”) Nedir?
1 + 1 = 2 kabulünün ardındaki matematiksel mantığı daha doğru bir şekilde kurmak için öncesinde Eşitlik (“=”) işaretinin gerçekte ne anlama geldiğini anlamamız gerekecektir.
“=”, eşitlik işaretidir.
“∈” ise sembolün sol tarafındaki ifadenin sembolün sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu belirtir.
- x = x
- x = y ⇒ (ise) y = x
- x = y, (ve) y = z ⇒ (ise) x = z
- x ∈ N, (ve) x = y ⇒ (ise) y ∈ N
1. Aksiyom
- x = x
- doğal sayılardaki her x için o doğal sayı kendisine eşittir.
Burada ele alınan sayılar doğal sayılardır (0, 1, 2, 3, 4, 5…) ve doğal olarak adlandırılmalarının nedeni bu sayıların en temelde esasen saymak için kullanılıyor olmasıdır.
Eşitlik, basitçe değişkenin kendisine eşit olduğu anlamına gelir.
2. Aksiyom
- x = y ⇒ (ise) y = x
- doğal sayılardaki her x ve y için, x y’ye eşitse y de x’e eşittir.
Kuralın sağdan sola ya da soldan sağa olmasının hiçbir önemi yoktur. Önemli olan, bir tarafta ne varsa diğer tarafın da ona eşit olmasıdır.
Bu aynı zamanda Simetri Aksiyomu olarak da bilinir çünkü kendisinin ayna görüntüsüdür.
3. Aksiyom
- x = y, (ve) y = z ⇒ (ise) x = z
- doğal sayılardaki her x, y ve z için, x y’ye eşitse ve y z’ye eşitse, x aynı zamanda z’ye eşittir.
Buna Geçişli Aksiyom da denir.
4. Aksiyom
- x ∈ N, (ve) x = y ⇒ (ise) y ∈ N
- tüm x ve y için, x doğal sayılar kümesine aitse ve x y’ye eşitse, y de doğal sayılar kümesine aittir.
Yani bir şeyin bir doğal sayıya eşit olmasının tek yolu, kendisinin bir doğal sayı olmasıdır.
Bu satıra kadar ele aldığımız dört aksiyom, bize bir sayının tam olarak ne olduğunu ifade edecek olan Peano Aksiyomları’nın temelini oluşturur.
Doğal Sayı Nedir?
Doğal Sayıları tanımlamanın birden fazla yolu vardır ve tam olarak hangi tanımı seçmiş olduğunuz 0’ı bir doğal sayı olarak kabul edip etmeyeceğinize karar vermenize yardımcı olacaktır.
Birinci tanımda “Doğal Sayı”, 1’den sonsuza kadar uzanan tüm pozitif tam sayılar kümesidir. Bu durumda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6… şeklinde uzanan tam sayılar birer doğal sayı olarak kabul edilecektir ancak 0 bir doğal sayı olarak kabul edilmeyecektir.
İkinci tanımda “Doğal Sayı”, 0’dan sonsuza kadar uzanan tüm negatif olmayan tam sayılar kümesidir. Bu durumda küme 0 ile başlayıp 1, 2, 3, 4, 5 ve 6… şeklinde devam edecektir.
Pratikte, hangi kullanımın doğru olduğuna yönelik ortak bir fikir birliği bulunmamaktadır.
Günümüzde Milli Eğitim Bakanlığı’nınkiler de dahil olmak üzere pek çok eğitim ders kitabında 0 bir doğal sayı olarak kabul edilmektedir ancak bazı akademik makaleler ve matematik kitapları 0’ı bir doğal sayı olarak kabul etmemektedir.
Peano Aksiyomları
- 0 = N
- x ∈ N ⇒ (ise) S(x) ∈ N
- x ∈ N ⇒ (ise) S(x) ≠ 0
- x, (ve) y ∈ N, (ve) S(x) = S(y) ⇒ (ise) x = y
- Tümevarımın Tamlık İlkesi (Complete Induction Principle)
1. Aksiyom
- 0 = N
- 0 bir doğal sayıdır.
0’ın bir doğal sayı olup olmadığı pratikte tartışmalıdır ancak bu aksiyom sırasında 0’ı bir doğal sayı olarak kabul edeceğiz.
2. Aksiyom
- x ∈ N ⇒ (ise) S(x) ∈ N
- doğal sayılardaki her x için, S(x) de doğal sayıdır.
S(x), x’in ardılıdır (successor).
Sezgisel olarak S(x)’i x + 1 olarak tanımlayabilirdik.
Sorun şu ki bunu henüz yapamayız çünkü Toplama (“+”) işaretinin gerçekte tam olarak ne anlama geldiğini henüz bilmiyoruz.
Bu aksiyomlar ile yaptığımız şey doğal sayının kendisini tanımlamaktır.
3. Aksiyom
- x ∈ N ⇒ (ise) S(x) ≠ 0
- doğal sayılardaki her x için S(x) 0 olamaz.
S(0) sıfır olamaz ancak başka bir doğal sayıya eşit olmalıdır. O halde S(0) = 1 ile bu doğal sayıyı “1” olarak gösterebiliriz.
Bu noktada en az iki doğal sayının, yani 0’ın ve 1’in var olduklarını biliyoruz. Geri kalanının da bildiğimiz şekli ile var olduğundan emin olmak için sıradaki aksiyoma sahibiz.
4. Aksiyom
- x, (ve) y ∈ N, (ve) S(x) = S(y) ⇒ (ise) x = y
- doğal sayılardaki her x ve y için, S(x) ve S(y) eşitse, x de y’ye eşittir.
Bu ilke doğal sayıların yapısını temelden etkilemekte ve sadece {0, 1} olma seçeneğini ortadan kaldırmaktadır.
Çünkü S(0) = 1 ise S(1) = 1 olamaz ve 2. Aksiyom, S(1) = 0 seçeneğini de ortadan kaldırır. Bu nedenle S(1) farklı bir doğal sayı olmalıdır.
Bunu “2” olarak belirledik. Sonuç olarak 2 = S(1) sonucuna varabiliriz.
Benzer şekilde S(2) de 0, 1 ya da 2 ile eşit olamaz. Bu nedenle “3” olarak adlandırdığımız farklı bir doğal sayı olmalıdır.
Bu şekilde devam edersek, geri kalan doğal sayıların da varlıklarını garanti altına almış oluruz.
4. Aksiyom
- Tümevarımın Tamlık İlkesi (Complete Induction Principle)
Basit bir şekilde ele almak gerekirse yukarıdaki dört aksiyom birbirinin üzerine uygulanabilir niteliktedir.
S(0) = 1 ise S(S(0)) = S(1) = 2 …
Bu süreç kısaca tümevarım olarak da bilinir ve successor function’ı sürekli olarak uygulayarak tüm doğal sayılar kümesini tanımlayabiliriz.
N = {0, 1, 2, 3, …}
Bu az önce ele aldığımız tüm aksiyomlardan tanımladığımız doğal sayılar kümesinin tamamıdır.
Toplama (“+”) Nedir?
Çalışmamızın temel kısmını oluşturduktan sonra ele almamız gereken bir konu daha var: O da Toplama (“+”) işaretinin gerçekte ne anlama geldiğini anlamak olacak.
- a + 0 = a
- a + S(b) = S(a + b)
Birinci kural oldukça açık olmalı: Herhangi bir sayının 0 ile toplamı kendisine eşittir.
İkinci kural ise elimizde a varsa ve onu b’nin ardılı ile toplarsak, sonucun (a + b)’nin ardılı ile eşit olacağını belirtir.
- a = 2 ve b = 3 olsun.
- formül a + S(b) yani b’nin ardılı şeklinde olduğu için a = 2 olarak kalırken S(b) = 3’ün ardılı olan 4 olacaktır.
- bu durumda a + S(b) = 2 + 4 = S(a + b) = S(2 + 3) = S(5) = 6 olacaktır.
1 + 1 = ?
Şimdi, elimizdeki kuralı 1 + 1 = 2 için uygulayalım.
1 + 1 işlemini hesaplamak için 1’in 0’ın ardılı olduğunu hatırlamamız gerekecektir.
- 1 = S(0)
Şimdi, ikinci kuralı kullanalım.
- 1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0)
Şimdi, birinci kurala tekrar göz atalım: Herhangi bir sayının 0 ile toplamı kendisine eşittir. Bu durumda 1 + 0 = 1 olmalıdır. Yani (1 + 0)’ın ardılı da basitçe 1’in ardılıdır. 1’in ardılı ise 2 olarak tanımlanır.
- S(1 + 0) = S(1) = 2
Bu sayede 1 + 1 = 2 kanıtlanmış oldu.
2 + 2 = ?
Şimdi, elimizdeki kuralı 2 + 2 = 4 için de uygulayarak teyit edelim.
- 2 + 2 = 2 + S(1) = S(2 +1)
Bir sonraki adımda:
- S(2 + 1) = S(2 + S(0)) = S(S(2 + 0))
Şimdi, birinci kurala göre 2 + 0 = 2 olmalı ve elimizde 2’nin ardılının ardılı kalmış olmalı.
- S(S(2 + 0)) = S(S(2))
2’nin ardılı 3, 3’ün ardılı ise 4 olarak tanımlanır.
- S(S(2)) = S(3) = 4
İşte bu kadar!
Bu makalemizde Giuseppe Peano tarafından geliştirilen Peano Aksiyomları ile 1 + 1 işleminin gerçekten de 2 olup olmadığını inceledik.
Bu makalemizi büyük bir heyecan ile okumayı başardıysanız Geek’te dikkatinizi çekebilecek çok sayıda Bilim Rehberleri olduğunu hatırlatmak isterim.
Ayrıca bu konu hakkındaki görüşlerinizi içeriğimizin altında bulunan Yorumlar sekmesi üzerinden bizlerle ve diğer okurlarımızla paylaşmayı da ihmal etmeyin!